La physique quantique est la physique qui permet de décrire les phénomènes du monde microscopique, là où la physique classique atteint ses limites.
Physique pré quantique
La lumière est une onde qui se comporte parfois comme une particule.
Généralisation pour la matière:
Premier postulat de de Broglie
Mécanique quantiqueInégalité d'Heisenberg
Définitions
OpérateursFormes linéairesEspace dual (physique)Opérateurs adjointsRelation de fermetureValeurs propresVecteurs propresOpérateurs autoadjoints - hermitiquesObservablesReprésentation (quantique)CommutateurFonction d'ondeEspace de HilbertEspace complet
Espaces de dimension infinie
Base orthonormée de l'espace de Hilbert
Postulats
Moment conjugué
Le moment conjugué est définie comme:
$$p_i={{\frac{\partial L}{\partial q_i} }}$$
Ave:- \(p_i\): le moment conjugué
- \(L\): le Lagrangien \(L=E_c-E_p\)
- \(q_i\): les coordonnées généralisées
Postulats de la mécanique quantique
Opérateurs physique quantique
Opérateur de positionOpérateur d'évolutionHamiltonienFonction d'onde
Probabilité de mesure de l'énergie
La probabilité de mesure de l'énergie ne dépend pas de l'instant à laquelle on la mesure.
Constantes du mouvement
Théorème d'Ehrenfest
Règles de sélection
Définition des règles de sélection
Soient des Observables \(\hat B\) tel que: \([\hat B,\hat H]\neq 0\) et \(\frac{d\hat b}{dt}=\hat 0\).
Alors, en regardant la valeur de \((\hat B)_{ij}={{\langle{\Psi_i|\hat B|\Psi_j}\rangle }}\), on sait si la valeur est nulle que la transition entre l'état \(j\) et \(i\) est impossible par rapport à l'observable \(\hat B\)
Ces règles sont une condition de symétrie qui permet d'économiser la calcul du produit scalaire.
Pulsation de Bohr
L'évolution se fait aux pulsations de Bohr qui caractérisent le spectre de l'énergie.
Cette pulsation est tel que:
$$\omega_{np}={{\frac{E_n-E_p}{\hslash} }}$$
Avec:- \(E_i\): le \(i-ème\) niveau d'énergie
Inégalité d'Heisenberg
Inégalité d'Heisenberg
Représentation
Espace de Hilbert
Représentation de la mécanique quantique
Dans un Espace de Hilbert discret ou continue, choisir une représentation, c'est choisir une Base orthonormée de l'espace de Hilbert discrète ou continue dans laquelle les kets d'état sont développés.- Cas discret:
La représentation est une suite de nombres complexes- Cas continu:
La représentation est une fonction
Représentation des coordonnées
Soit \(\ket{\vec r}\) les kets de l'ECOC (Commutateur (Propriétés)) \(\hat{\vec R}\), les kets propres de l'opérateur \(\hat{\vec R}\), c'est-à-dire les kets propres communs à \(\hat X, \hat Y, \hat Z\).
Ce qui veut dire, que pour tout \((x,y,z)\) on peut associer un unique ket propre \(\ket{\vec r}\).
\(\ket{\vec r}\) représente un système physique "localisé" à la position représentée par le vecteur \(\vec r\).
$$\hat{\vec R}\ket{\vec r}=\vec r\ket{\vec r}$$
Les kets \(\ket{\vec r}\) forment une base continue de l'espace des états (Base orthonormée de l'espace de Hilbert).
Fonction d'onde
Transformée de Fourier
La
Transformée de Fourier est un outil fondamentale en physique quantique
Passage de la représentation des coordonnées à celle des impulsions
On a une relation entre la représentation des coordonnées et celle des impulsions.
\(\tilde \Psi(\vec p)\) est la transformée de Fourier de \(\Psi(\vec r)\)
Actions
Opérateur de position (Action)Opérateur d'impulsion (Action)
Etat liés et de diffusion
Etat liés
Etat de diffusion
Symétries
Les symétries permettent la réduction de la complexité du problème.
Opérateur parité
Opérateur pair et impair
Densité de courant de probabilité
Définition du vecteur densité de courant de probabilité
On définie la densité de courant de probabilité comme:
$$\vec J(\vec r,t)={{\frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^*(\vec r,t)\vec\nabla \Psi(\vec r,t)-\Psi(\vec r,t)\vec\nabla \Psi^*(\vec r,t)\right)}}$$
Qui a comme propriété:
$$div(\vec J)=\frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^*\nabla \Psi-\Psi\nabla\Psi^*\right)$$
Cela nous donne une loi de conservation:
$${{\frac{\partial\rho(\vec r,t)}{\partial t}=-div(\vec J)}}$$
Avec:- \(\rho(\vec r,t)=|\Psi(\vec r,t)|^2\): densité de probabilité
Penser aux exemples de cours (effet tunnel,...)
